Erwartungswerte oder warum uns die Würfel betrügen

Heute gibt es hier einen Gastartikel von Lintu der diesen auch schon hier auf TTM veröffentlicht hat. Viel Spaß beim lesen und weiter denken.

 

Der Erwartungswert ist im Themengebiet Math-Hammer die wohl am häufigsten zitierte Größe aus der Statistik. Und ebenso häufig ist Wahrscheinlich die Kritik an diesem Thema. Wie sollte es auch anders sein – Statistik ist ein Gebiet welches aus der Warte eines Spielers leicht zu kritisieren ist. Was sagt uns also der Erwartungswert?

Ein ganz erhellendes Bild gibt hier ein einfaches Beispiel. Wir definieren mal einen Standardfall: Trefferwurf 3+, Verwundungswurf 2+, kein Schutzwurf. Wenn wir hier mal ein Auge zudrücken, dann sind wir bei einer Chance von 50% eine ungeschützte Wunde zu verursachen. Jetzt nehmen wir an, dass wir 2 Schuss abfeuern dürfen. Der Erwartungswert ist nun als 1 zu bestimmen. Wir groß ist die Chance ein Ergebnis gleich oder größer dem Erwartungswert zu bestimmen? – Es gibt 4 mögliche Resultate: 2 Wunden, erster Schuss keine Wunde und zweiter Wurf eine Wunde, erster Schuss eine Wunde und zweiter Wurf keine Wunde, keine Wunde. Bei unserer ungefähren Wahrscheinlichkeit von 50% kommen wir also auf eine Chance von 75% das wir einen oder mehr Punkte Schaden verursachen. Bei vier Schüssen haben wir einen Erwartungswert von 2 und eine Chance von etwa 69% gleich oder besser dem Erwartungswert zu sein. Weiter machen wir mit einer Tabelle:

Anzahl der Würfel	Erwartungswert	Chance auf „Erwartungswert“
10	5	62,3%
20	10	58,8%
40	20	56,3%
80	40	54,4%
160	80	53,1%

Nach einem Blick auf diese Tabelle können wir uns sicherlich mit der folgenden Aussage anfreunden: „Die Chance den Erwartungswert zu erreichen ist etwas besser als 50%!“

Und hier liegt auch der Kritikpunkt am Erwartungswert. Wer nur einen Versuch hat, der befindet sich nicht in einem Fall der einer Statistik genügt, sondern einem Einzelschicksal. Welche Planungssicherheit gibt uns dieser Wert? Treffen wir Entscheidungen auf dem Schlachtfeld anhand des Erwartungswertes, so gelingt etwas mehr als die Hälfte von dem was wir erreichen wollen. Und schnell bekommen wir das Gefühl, dass die Würfel gegen uns sind, weil irgendwie nichts funktioniert.

Aber was ist dann die statistische Empfehlung? Wir kann man all diese schöne Mathematik nutzen? Meiner Meinung nach muss man das richtige Anwendungsgebiet suchen. Beim Planen einer Armeeliste können wir nicht immer etwas über unseren Gegner sagen. Und wenn wir nicht wissen welchen Widerstand oder Panzerungswert der Gegner besitzt, dann helfen alle schönen Formeln nicht. Aber wenn wir wissen wollen, wie viel Feuerkraft wir brauchen um einen Phantomritter zu erlegen – dann bekommt der Erwartungswert einen nicht schlecht zu redenden Nutzen. Wie ist das zu verstehen?

Ein Trupp von 10 Space Marines ist in der Lage jeden Todesstern mit bis zu 20 Lebenspunkten in einer Schussphase zu zerlegen – es ist nur sehr unwahrscheinlich. Andersherum wird ein Stormesurge eine einzelne Landungskapsel mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit zerstören. Im ersten Fall werden die 10 Marines bis zum Ende des Spiels vermutlich nicht mehr als einen Centurion aus einem Iron Hands Trupp töten. Im zweiten Fall verschwenden wir sicherlich einiges an Möglichkeiten. Der Erwartungswert gibt Aufschluss darüber, was wir zu erwarten haben. Und wenn wir einen Einheit exakt so planen, dass der Erwartungswert ihrer Feuerkraft eine gegnerische Einheit auf den Punkt vernichtet, dann ist dies die kosteneffizienteste Lösung die man finden kann: Mit der Unsicherheit der Wahrscheinlichkeit ist es nicht zu viel und nicht zu wenig.

Und diese Unsicherheit ist es die in den Griff zu bekommen ist. Wir stellen uns also bei der Planung von Angriffen stets die Frage: Welches Ziel verfolge ich mit dem Angriff?

• Möchte ich ein taktisches Ziel ausschalten, um einen Marker frei zu schießen, einen Nahkampfangriff in der nächsten Runde verhindern oder ein Missionsziel erfüllen?
• Möchte ich allgemeinen Schaden an der gegnerischen Armee ausrichten, um nicht näher definierte taktische Ziele im kommenden Spiel leichter zu erfüllen.

Im ersten Fall geht es um die Wurst und in dieser Situation ist es besser mit dem Erwartungswert oberhalb der Wunden zu liegen die ich erreichen möchte. Dies führt zur Gefahr, dass Wunden verschwendet werden, aber schafft Sicherheit, dass das taktische Ziel erreicht wird. Im zweiten Fall ist es besser keine Wunde zu verschwenden und ein Erwartungswert der etwas unterhalb der Lebenspunkte der Einheit liegen ist ein guter Richtwert.

Wie bekommt man nun das Maß von „etwas oberhalb“ und „etwas unterhalb“ in klare Aussagen formuliert. Die Antwort hierauf kann nur die folgende sein: Schwer. Ganz zweige der Statistik beschäftigen sich gerade mit diesem Thema und große Rechenmaschinen werden verwandt um auf die Ergebnisse zu kommen. Für den Gebrauch am Tisch kann also nur eine Faustformel helfen und die wollen wir nun herleiten.

Jeder ausgeführte Angriff hat eine Wahrscheinlichkeit von p einen Punkt Schaden zu verursachen und einen Wahrscheinlichkeit von (1-p) keinen Schaden zu verursachen. Die Wahrscheinlichkeit mit n dieser Angriffe genau k Wunden zu verursachen ist ein sogenanntes Binomialverteilung und wird durch folgende Formel angegeben, dabei ist n die Anzahl der Würfel und k die exakte Anzahl der erwünschten Erfolg:

• P(n,k) =(n!)/ (k!*(n-k)!) * p^k*(1-p)^(n-k)

Kurzer Test: Ein Angriff verursacht mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,5 eine Wunde. Es werden n=2 Angriffe ausgeführt:

• P(2,0) = (2)/(2*1) *0,5*0,5 = 0,25
• P(2,1) = (2)/(1*1)*0,5*0,5 = 0,5
• P(2,2) = (2)/(2*1) *0,5*0,5 = 0,25

Die Chance mindestens eine Wunde zu verursachen ist also 0,5+0,25 = 0,75 wie wir auch zuvor berechnet hatten!

Was nun also interessiert um gute Aussagen treffen zu können: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich mit n Würfel k oder mehr Wunden verursache? Zuerst die schlechte Nachricht. Wir haben noch nie eine einfache und schöne Formel gesehen, die diese Frage beantwortet, weil es sie nicht gibt. Ganz im Gegenteil sind alle Versuche einer Antwort hierfür richtige Handarbeit oder das Durchsuchen von Tabellen, die jemand anders im Schweiße seines Angesichts erstellt hat. Alles im allen also nicht das Instrument, um es mal schnell auf einem Turnier zu nutzen. Bevor wir nun aber Trübsal blasen, wollen wir schauen, was zu machen ist. Und wir tasten uns über zwei Beispiele heran. Da die exakte Mathematik hierzu ausufernd ist, nehmen wir uns die unwissenschaftliche Freiheit aus Beispielen aussagen anzuleiten:

Da steht nun ein Phantomritter ohne Streuschild und dieser soll nun durch das Shurikenfeuer von Asuryans Jägern aus einem Dire Avanger Shrine fallen. Jeder einzelne Schuss hat eine Chance von 5/6 * 1/6 * 2/3 = 10/108 = 0,0925 10%. Das heißt, der Erwartungswert sagt uns, dass ein 10er Trupp mit seinen 20 Schuss nun den Verlust von etwa 2 Lebenspunkten verursacht. Der ganze Shrine aus 3 Trupps sollte also seine Arbeit verrichten. Nun stellen wir aber die Frage wie viele Schüsse braucht es eigentlich um sich mit einer Chance von 90% sicher zu sein, dass diese 2 Lebenspunkte auch wirklich verloren gehen.

Dafür muss man nun ein wenig in die Arbeitsweise der Mathematiker eindenken. Im Internet werden wir ganz häufig Tabellen finden, die eine Aussage über

• P(X <= k) = Summe(i <= k) (n!)/ (k!*(n-i)!) * p^i*(1-p)^(n-i)

finden. Zum Beispiel stellt die Ökonometrie in Siegen hier ein ausführliches PDF (©Universität Siegen) zur Verfügung. Wir bekommen also eine Antwort auf die Frage, wie große die Chance ist, dass wir nur k oder weiniger Erfolge erzielen. Das heißt, wir müssen umdenken und die Frage beantworten, wie viele Würfel wir werfen müssen, damit die Chance auf ein oder weniger Lebenspunktverluste kleiner als 10% ist. Das heißt wir gehen in die Spalte in der 0,1 steht und durchsuchen in allen Blöcken die Zeile in der 1 steht, ob irgendwo eine Wahrscheinlichkeit von weniger als 10% steht. Und wir stellen fest, dass selbst mit 30 Würfel die Chance auf einen Verlust von weniger als 2 Lebenspunkten bei 18, 37% liegt.

Und nun wird uns eines klar: Selbst wenn drei 10er Trupps Asuryans Rächer mit ihrem Shurikensturm auf einen Phantomritter feuern hat jeder einzelne eine Chance von etwa 20% sein Soll nicht zu erfüllen. Die Chancen, das ein anderer Trupp dies wieder ausgleicht – also mehr als 2 Lebenspunkte abzieht, sind ungleich geringer. Und es zeigt sich, obwohl der Erwartungswert uns ein gutes Ergebnis prognostiziert, sind unsere Chance zu scheiten sehr hoch. Und wie sieht es dann erst aus, wenn der Phantomritter nun ein Streuschild besitzt? – Ganz klar: Noch schlechter.

Andersherum verpassen wir dem Phantomritter nun durch den Runenpropheten Verdammnis. Die Chancen auf eine Wunde werden sich etwa verdoppeln, da wir zwei Versuche haben und liegen bei etwas weniger als 20%. Wir schauen in der Spalte für 0,2 und im Block für n=18 Schüsse und sehen, dass wir bereit bei einer Chance von etwa 90% liegen. Im Shurikensturm kommen wir sogar mit n=30 auf eine Chance von 95%, dass ein Trupp sein Soll erfüllt. Und selbst wenn einer es nicht schafft, dann kann vielleicht ein anderer ausgleichen. Mit 90 Schuss und einer Wundchance von etwa 20% kommen wir also auf einen Erwartungswert von 18! Das heißt in diesem Beispiel können wir uns erst sicher fühlen, wenn der Erwartungswert dreimal so hoch ist, wie wir uns eigentlich erhoffen.

Was lernen wir also aus diesem Beispiel? Gerad wenn es um kleine Wahrscheinlichkeiten bei jeden Einzelergebnis geht, dann brauchen wir extrem viele Angriffe, um ein sicheres Ergebnis zu bekommen. Und wir werden trotz eines günstigen Erwartungswertes oft danebenliegen. Und am Ende des Spiels werden wir das Gefühl haben, dass die Würfel uns einmal mehr im Stich gelassen haben. Das ist aber nicht so – es war alles abzusehen.

Ein anders Bespiel soll hier nun auch folgen: Drei Jetbikes mit Impulslasern eröffnen das Feuer auf fünf Khornehunde. Die Chance auf einen Wunde ist 2/3 * 5/6 * 2/3 = 20 / 54 40%. Der Erwartungswert von 12 Schuss ist also 4,8 5. Schauen wir nun in die Tabelle in die Spalte 0,4 und in den Block n= 18. Dann sehen wir dass die Chance auf 4 oder weniger Wunden bei weniger als 10% liegt. Wir müssen also gar nicht so viel mehr Feuerkraft einsetzen um uns vom Erwartungswert kommend in eine Sicherheit zu begeben. Dieses Beispiel verdeutlicht, was schon aus den Beispiel mit den Asuryans Rächern und dem Nutzen der Verdammnis zu erahnen war: Um eine schlechte Einzelchance sicher zu machen braucht es viel mehr Aufwand als eine gute Einzelchance sicher zu machen.Ganz deutlich wird es, wenn man sich vorstellt, dass man eine 100% Chance hat. Dann ist der Erwartungswert immer gleich dem Endresultat und man muss überhaupt nicht überbieten um mehr sicherheit zu bekommen. Das heißt je besser die Einzelchance ist, desto weniger muss man überbieten. Das Bestreben sollte also immer sein eine Waffe so einzusetzen, dass sie eine gute Einzelchane besitzt.

Die Merksätze könnten also wie folgt lauten:

• Mit dem Erwartungswert können wir die Effektivität unserer Armee optimieren.
• Sicherheit bekommen wir nur, wenn wir mehr einsetzen als den Durchschnitt.
• Der Einsatz einer Waffe auf ihrem Spezialgebiet bringt Sicherheit.

Man kann also jede Taktik darin unterteilen, ob sie entweder einen sicheren Effekt haben soll oder blindlings und dafür effizient sein soll. Und die zweite Taktik wird immer die sein, die einen kontinuierlicheren Erfolg bringt.

Diese Aussagen lassen sich gut auf viele Spiele übertragen: Hier nur eine Situation, auf die ich oft angesprochen wurde: Ein Droppod Angriff der versucht in einem Alpha-Strike zu gewinnen, wird trotz guter Erwartungswerte nur ein Teil seines Solls erfüllen und jedes nicht zerstörte Ziel wird sich empfindlich rächen. Mit einzelnen starken Waffen wird immer irgendetwas schief gehen und das bricht einem dann das Genick. Insbesondere wird aber gerad ein Centurion mit Grav-Waffen etwas heraus reißen, weil er meist auf dem Gebiet seiner besten Effizienz eingesetzt wird. Missionsziel-Campen, vielleicht unterstützt durch ein paar Centurions ist also die sicherere Taktik als ein all-in Alpha-Strike.

Hier zeigt sich auch, warum Spam so gut funktioniert. Einer massierten Salve von Impulslasern ist das Ziel meist egal, es geht mehr darum gleichmäßig Blechschaden zu hinterlassen. Andersherum erklärt es auch, warum Todessterne so gut funktionieren. Die Erwartungswerte sind schon schlecht und der Aufwand bis zu einem sicheren Ergebnis ist noch viel höher. Ein Todesstern ist schon für seine eigentlichen Punkte extrem massiv und die Wahrscheinlichkeiten arbeiten nun noch gegen ein sicheres Ergebnis.

Es ist also klar, dass Spam und Todessterne eine gute Taktik sind: Im ersten Fall nutzt man die Taktil der besten Effizienz und im zweiten Fall zwingt man seinem Gegner die ungünstige Taktik der schlechten Sicherheit auf. Und hier ist auch klar, warum viele auf die Taktik von TK-Waffen und Stampfen schwören: Diese beiden operieren einfach mit guten Einzelchancen und erzielen so auch sichere Ergebnisse.

Zu beachten ist, dass hier keine Aussage darüber getroffen wird, wie gut andere Taktiken sind. Neben Spam und Todessternen gibt es auch andere valide Armeekonzepte. Wir wissen nun nur, dass einzelne Konzepte gut funktionieren und andere nicht. Was mit den vielen anderen Konzepten ist, folgt vielleicht einmal in einem anderen Artikel.